解直角三角形(解直角三角形思维导图九上)

解直角三角形

解直角三角形是中考的重要内容之一,直角三角形边、角关系的知识是解直角三角形的基础。将实际问题转化为数学问题是关键,通常是通过作高线或垂线转化为解直角三角形问题,在解直角三角形时要注意三角函数的选取,避免计算复杂。在解题中,若求解的边、角不在直角三角形中,应先添加辅助线

在直角三角形中,除直角外,一共有五个元素,即三条边和两个锐角,由直角三角形中除直角外的已知元素,求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。

解直角三角形的方法可概括为“有弦(斜边)用弦(正弦、余弦),无弦有切(正切、余切),宁乘毋除,取原避中”其意指:当已知或求解中有斜边时,可用正弦或余弦;无斜边时,就用正切或余切;当所求元素既可用乘法又可用除法时,则用乘法,不用除法;既可由已知数据又可用中间数据求解时,则取原始数据,忌用中间数据.

(1)ca,cb,ba,ab四个比值的大小同△abc的三边的大小无关,只与锐角的大小有关,即当锐角a取固定值时,它的四个三角函数也是固定的;(2)sina不是sina的乘积,它是一个比值,是三角函数记号,是一个整体,

(一)、锐角三角函数定义在直角三角形abc中,∠c=900,设bc=a,ca=b,ab=c,锐角a的四个三角函数是:(1)正弦定义:在直角三角形中abc,锐角a的对边与斜边的比叫做角a的正弦,记作sina,即

解直角三角形思维导图九上

aaaab的对边的邻边cot锐角a的正弦、余弦,正切、余切都叫做角a的锐角三角函数。这种对锐角三角函数的定义方法,有两个前提条件:(1)锐角∠a必须在直角三角形中,且∠c=900;(2)在直角三角形abc中,每条边均用所对角的相应的小写字母表示。否则,不存在上述关系

如1cottan,1223030cossin22,而1cossin22就不一定成立。(4)同角三角函数关系用于化简三角函数式。(三)余角的函数关系式任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,任意锐角的余弦值等于它

sina=b/sinb=c/sinc=2r(2r在同一个三角形中是恒量,r是此三角形外接圆的半径)。

解含有非基本元素的直角三角形(即直角三角形中中线、高、角平分线、周长、面积等),一般将非基本元素转化为基本元素,或转化为元素间的关系式,再通过解方程组来解.

cosa=cb,(3)正切的定义:在直角三角形abc中,锐角a的对边与邻边的比叫做角a的正切,记作tana,即

解直角三角形的方法和技巧

三个三角函数记号也是一样;(3)利用三角函数定义可推导出三角函数的*质,如同角三角函数关系,互余两角的三角函数关系、特殊角的三角函数值等;(二)、同角三角函数的关系(1)平方关系:122sincos(2)倒数关系:tanacota=1(3)

商数关系:sincoscot,cossintan注意:(1)这些关系式都是恒等式,正反均可运用,同事还要注意它们的变形公式。(2)sinsin22是的简写,读作“sin的平方”,不能将22sin写成sin前者是a的正弦值的平方,后者无意义;(3)这里应充分理解“同角”二字,上述关系式成立的前提是所涉及的角必须相同,

sina=ca,(2)余弦的定义:在直角三角行abc,锐角a的邻边与斜边的比叫做角a的余弦,记作cosa,即