数学三大危机(简述数学史上的三次危机)

数学三大危机

S由一切不是自身元素的集合所组成,那S属于S吗?用通俗一点的话来说,小明有一天说:“我正在撒谎!”问小明到底撒谎还是说实话。罗素悖论的可怕在于,它不像最大序数悖论或最大基数悖论那样涉及集合高深知识,它很简单,却可以轻松摧毁集合理论。

无理数的发现,第一次数学危机大约公元前5世纪,不可通约量的发现导致了毕达哥拉斯悖论。第二次数学危机18世纪,微分法和积分法在生产和实践上都有了广泛而成功的应用,大部分数学家对这一理论的可靠性是毫不怀疑的。第三次数学危机数学史上的第三次危机,是由1897年的突然冲击而出现的,到现在,从整体来看,还没有解决到令人满意的程度。这次危机是由于在康托的一般集合理论的边缘发现悖论造成的。

“在工作结束之后,却发现自己建造的大厦的基础之一被动摇了,对于一个科学家来说,没有任何事情比这更为不幸的了。恰好在本卷印刷即将完成之际,

写了一封信,在信中他首先对弗雷格的工作大加赞赏:“我发现我在一切本质方面都*您的观点我在您的著作中找到了在其他逻辑学家的著作中不曾有过的探讨、区分和定义。”

·罗素先生的一封信就把我置于这样的境地。在灾难中有伴相随,对于受难者来说是一种安慰。如果这是一种安慰,那么我已得到了安慰。因为,在证明中使用了概念的外延、类、集合的每一个人,都与我处于同样的境地。成为问题的不仅是我建立算术的特殊方式,而且是算术是否完全有可能被给予一个逻辑基础。”

简述数学史上的三次危机

如果数学中蕴含着潜在的矛盾,那么所有数学家证明的定理可能也都是隐含着矛盾的。令人尴尬的是,罗素悖论看起来极其简单,但很难在短时间内找到一个完善的修复方案。

可以简单描述为:假设N是由所有不属于自身的集合所组成的集合,那么请问N属于自身吗?如果N属于N,那么按照定义,N不应当把自身作为元素;如果N不属于N,则按照定义N应当包含N。这就形成了矛盾。

弗雷格立即意识到这个问题的严重性,当时正值《算术的基本规律》(第二卷)即将出版,弗雷格马上增加了一个跋语,并附上了这个悖论。

带头引出的一系列问题,激发起数学界的探索并最终建立现代数学的大厦,其中一个副产品就是与计算相关的理论。

罗素在1903年出版的《数学的原则》[《数学原理》(第1版)]一书的附录部分中,对弗雷格的著作做了一次广泛而详尽的评论,当然也谈到了他的悖论。

世上最难数学题

康托尔当时并未发表这一悖论,首先发表这一悖论的是意大利数学家布拉里·福蒂,他在1897年3月28日的巴拉摩数学会上宣读了一篇论文《关于超穷数的一个问题》,提出了最大序数悖论,即现在我们所说的“布拉里-福蒂悖论”。

本书横跨了人类近3000年的文明史,综合了数学、哲学、物理学、计算机科学、人工智能、复杂系统科学等多门学科,呈现出一种独特的计算主义的世界观。

到1901年6月,伯特兰·罗素在仔细考察这两个悖论并分析它们的结构后,提出了一个新的悖论,被称为“罗素悖论”。