2023天津数学第15题解析
题目背景
2023年天津数学高考第15题是一道涉及函数与不等式的综合题。该题主要考察学生对函数性质的理解以及不等式求解的能力。通过这道题，我们可以深入探讨函数的最值问题以及不等式的应用。
题目分析
题目给出了一个函数 ( f(x) = x^3 -3x^2 +2 )，并要求我们找到满足 ( f(x) \geq0 )的 ( x )的取值范围。首先，我们需要对函数 ( f(x) )进行分析，找出其关键点。
函数性质分析
- 求导数：首先求出 ( f(x) )的导数 ( f'(x) )： [ f'(x) =3x^2 -6x ]
- 求极值点：令 ( f'(x) =0 )，解得： [ 3x^2 -6x =0 \implies x(x -2) =0 \implies x =0 \text{或 } x =2 ]
- 确定极值：通过二阶导数 ( f''(x) =6x -6 )判断极值点的性质： [ f''(0) = -6 \quad (\text{极大值}) ] [ f''(2) =6 \quad (\text{极小值}) ]
- 函数图像分析：结合极值点和函数值，绘制函数图像，分析函数的单调性和最值。
不等式求解
- 确定零点：求解 ( f(x) =0 )： [ x^3 -3x^2 +2 =0 ] 通过因式分解或数值方法求解，得到零点 ( x =1 \pm \sqrt{1 -2/x} )。
- 区间分析：根据零点和极值点，将 ( x )轴分成若干区间，分析每个区间内 ( f(x) )的符号。
- 确定解集：结合函数图像和区间分析，确定 ( f(x) \geq0 )的解集。
解题步骤
- 求导数并找出极值点： [ f'(x) =3x^2 -6x ] [ f'(x) =0 \implies x =0 \text{或 } x =2 ]
- 通过二阶导数判断极值点性质： [ f''(x) =6x -6 ] [ f''(0) = -6 \quad (\text{极大值}) ] [ f''(2) =6 \quad (\text{极小值}) ]
- 求解 ( f(x) =0 )： [ x^3 -3x^2 +2 =0 ] 通过因式分解或数值方法求解，得到零点 ( x =1 \pm \sqrt{1 -2/x} )。
- 区间分析： -在 ( (-\infty,0) )，( f(x) )为正。 -在 ( (0,1) )，( f(x) )为负。 -在 ( (1,2) )，( f(x) )为负。 -在 ( (2, \infty) )，( f(x) )为正。
- 确定解集： [ f(x) \geq0 \implies x \in (-\infty,0] \cup [2, \infty) ]
结论
通过上述分析和求解步骤，我们得到了满足 ( f(x) \geq0 )的 ( x )的取值范围为 ( (-\infty,0] \cup [2, \infty) )。这道题不仅考察了函数的基本性质，还涉及了不等式的求解方法，是一道综合性较强的题目。
